Andreas Paffenholz - TU Darmstadt

Reguläre und Semireguläre Polytope

Diese Seite enthält Material, daß ich für meine Vorlesung Elementargeometrie im Sommersemester 2007 zusammengestellt habe.

3-dimensionale reguläre Polytope

Ein Polytop heißt regulär, wenn seine Automorphismengruppe fahnentransitiv ist

Es gibt genau fünf solche regulären Polytope in Dimension 3, die fünf Platonischen Körper

Man kann sich diese Anzahl leicht wie folgt überlegen: An jeder Ecke kommen k≥3 regelmäße n-Ecke zusammen. Der Gesamtwinke der Polygone an einer Ecke muß weniger als 360 Grad betragen. Daher folgt n≤3. Fuer n=4 und n=5 ist nur k=3 möglich, für n=3 auch k=4 und k=5. Damit ergeben sich alle fünf Platonischen Körper.

Name	f-Vector	Typ	Dateien
Tetraeder	(4,6,4)	(3,3)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Würfel	(8,12,6)	(4,3)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Oktaeder	(6,12,8)	(3,4)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Dodekaeder	(20,30,12)	(5,3)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Ikosaeder	(12,30,20)	(3,5)	[img] [edge] [jvx] [poly]

3-dimensionale Semireguläre Polytope

Ein Polytop heißt semiregulär wenn die Automorphismengruppe transitiv auf den Ecken operiert.

Es gibt drei verschiedene Typen von semiregulären Polytopen:

die fünf regulären Polytope
zwei unendliche Familien, die Prismen und die Antiprismen
13 weitere, die Archimedischen Körper

Da die Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operieren soll, müssen an jeder Ecke die gleichen Typen von Polygonen zusammenkommen, die (z.B. im Uhrzeigersinn) auch in der gleichen Reihenfolge auftreten müssen. Jedes seminreguläre Polytop können wir also duch diese Fläenfolge um eine Ecke eindeutig charakterisieren.

Da die Winkelsumme um jede Ecke kleiner als 360 ist, können höchstens 5 Flächen an einer Ecke zusammenkommen. Für eine Klassifikation muß man also alle möglichen Flächenfolgen mit drei, vier und fünf Flächen untersuchen.

Drei Flächen mit n₁, n₂ und n₃ Ecken

n₁=n₂=n₃:
dann ist das Polytop sogar regulär.
n₁=n₂≠n₃:
Entlang des n₁-Ecks müssen abwechselnd n₂- und n₃-Ecke auftreten. Daher muß n₁ gerade sein. Damit sind die folgenden Fälle möglich:
- n₁=n₂=4 und n₃≥ 3: Prisma über einem n₃-Eck
- n₁=n₂=6 und n₃=3: Abgestumpftes Tetraeder
- n₁=n₂=6 und n₃=4: Abgestumpftes Oktaeder
- n₁=n₂=6 und n₃=5: Abgestumpftes Ikosaeder
- n₁=n₂=8 und n₃=3: Abgestumpfter Würfel
- n₁=n₂=10 und n₃=3: Abgestumpftes Dodekaeder
n₁≠n₂ und n₁,n₂≠n₃:
Entlang jedes n₁-Ecks müssen abwechselnd n₂- und n₃-Ecke auftreten, und analog für n₁ und n₂. Daher müssen n₁, n₂ und n₃ gerade sein. Damit sind die folgenden Fälle möglich:
- n₁=4, n₂=6 und n₃=8: Großes Rhombenkuboktaeder
- n₁=4, n₂=6 und n₃=10: Großes Rhombenikosidodekaeder

Vier Flächen mit n₁, n₂, n₃ und n₄ Ecken

Mindestens eines der Polygone ist ein Dreieck

n₁=n₂=n₃=n₄:
dann ist das Polytop sogar regulär.
n₁=3:
Die beiden an das Dreieck benachbarten Polygone müssen die gleiche Anzahl Kanten haben, da sie entlang des Dreiecks abwechselnd vorkommen. Mindestens zwei der Zahlen n₂,n₃ und n₄ sind also gleich.
- n₁=3, n₂=n₃=3 und n₄≥4: Antiprisma über einem n₄-Eck
- n₁=n₂=3, n₃=n₄=4: Kuboktaeder
- n₁=n₂=3 und n₃=n₄=5: Ikosidodekaeder
- n₁=3, n₂=n₃=n₄=4: Rhombenkuboktaeder
- n₁=3, n₂=n₃=4 und n₃=5: Rhombenikosidodekaeder

Fünf Flächen mit n₁, n₂, n₃, n₄ und n₅ Ecken

Mindestens eines der Polygone ist ein Dreieck

n₁=n₂= n₃= n₄= n₅:
dann ist das Polytop sogar regulär.
n₁= n₂= n₃=n₄ =3 und n₅≥4: Abgeschrägter Würfel
n₁= n₂= n₃=n₄ =3 und n₅≥5: Abgeschrägtes Dodekaeder

Einige Prismen und Antiprismen

Name	f-Vector	Typ	Dateien
Dreiecksprisma	(6,9,5)	(4,4,3)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Viereckesprisma	(8,12,6)	(4,4,4)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Fünfecksprisma	(10,15,7)	(4,4,5)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Sechsecksprisma	(12,18,8)	(4,4,6)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Siebenecksprisma	(14,21,9)	(4,4,7)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Dreieck	(6,12,8)	(3,3,3,3)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Fünfeck	(10,20,12)	(3,3,3,5)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Sechseck	(12,24,14)	(3,3,3,6)	[img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Siebeneck	(14,28,16)	(3,3,3,7)	[img] [edge] [jvx] [poly]

Die Archimedischen Körper

Name	f-Vector	Typ	Dateien
Abgestumpftes Tetraeder	(12,18,8)	(3,6,6)	[img] [edge] [jvx]
Abgestumpfter Würfel	(24,36,14)	(3,8,8)	[img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Oktaeder	(24,36,14)	(3,6,6)	[img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Dodekaeder	(60,90,32)	(3,10,10)	[img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Ikosaeder (Fußball)	(60,90,32)	(5,6,6)	[img] [edge] [jvx]
Großes Rhombenkuboktaeder	(48,72,26)	(4,6,8)	[img] [edge] [jvx]
Großes Rhombenikosidodekaeder	(120,180,62)	(4,6,10)	[img] [edge] [jvx]
Kuboktaeder	(12,24,14)	(3,4,3,4)	[img] [edge] [jvx]
Icosidodekaeder	(30,60,32)	(3,5,3,5)	[img] [edge] [jvx]
Kleines Rhombenkuboktaeder	(24,48,36)	(3,4,4,4)	[img] [edge] [jvx]
Kleines Rhombenikosidodekaeder	(30,60,32)	(3,4,5,4)	[img] [edge] [jvx]
Abgeschrägter Würfel	(24,60,38)	(3,3,3,3,4)	[img] [edge] [jvx]
Abgeschrägtes Dodekaeder	(50,150,92)	(3,3,3,3,5)	[img] [edge] [jvx]