PD Dr. Andreas Paffenholz

Reguläre und Semireguläre Polytope

Diese Seite enthält Material, daß ich für meine Vorlesung Elementargeometrie im Sommersemester 2007 zusammengestellt habe.

3-dimensionale reguläre Polytope

Ein Polytop heißt regulär, wenn seine Automorphismengruppe fahnentransitiv ist

Es gibt genau fünf solche regulären Polytope in Dimension 3, die fünf Platonischen Körper

Man kann sich diese Anzahl leicht wie folgt überlegen: An jeder Ecke kommen k≥3 regelmäße n-Ecke zusammen. Der Gesamtwinke der Polygone an einer Ecke muß weniger als 360 Grad betragen. Daher folgt n≤3. Fuer n=4 und n=5 ist nur k=3 möglich, für n=3 auch k=4 und k=5. Damit ergeben sich alle fünf Platonischen Körper.

Name f-Vector Typ Dateien
Tetraeder (4,6,4) (3,3) [img] [edge] [jvx] [poly]
Würfel (8,12,6) (4,3) [img] [edge] [jvx] [poly]
Oktaeder (6,12,8) (3,4) [img] [edge] [jvx] [poly]
Dodekaeder (20,30,12) (5,3) [img] [edge] [jvx] [poly]
Ikosaeder (12,30,20) (3,5) [img] [edge] [jvx] [poly]

3-dimensionale Semireguläre Polytope

Ein Polytop heißt semiregulär wenn die Automorphismengruppe transitiv auf den Ecken operiert.

Es gibt drei verschiedene Typen von semiregulären Polytopen:

Da die Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken operieren soll, müssen an jeder Ecke die gleichen Typen von Polygonen zusammenkommen, die (z.B. im Uhrzeigersinn) auch in der gleichen Reihenfolge auftreten müssen. Jedes seminreguläre Polytop können wir also duch diese Fläenfolge um eine Ecke eindeutig charakterisieren.

Da die Winkelsumme um jede Ecke kleiner als 360 ist, können höchstens 5 Flächen an einer Ecke zusammenkommen. Für eine Klassifikation muß man also alle möglichen Flächenfolgen mit drei, vier und fünf Flächen untersuchen.

Drei Flächen mit n1, n2 und n3 Ecken

Vier Flächen mit n1, n2, n3 und n4 Ecken

Mindestens eines der Polygone ist ein Dreieck

Fünf Flächen mit n1, n2, n3, n4 und n5 Ecken

Mindestens eines der Polygone ist ein Dreieck

Einige Prismen und Antiprismen

Name f-Vector Typ Dateien
Dreiecksprisma (6,9,5) (4,4,3) [img] [edge] [jvx] [poly]
Viereckesprisma (8,12,6) (4,4,4) [img] [edge] [jvx] [poly]
Fünfecksprisma (10,15,7) (4,4,5) [img] [edge] [jvx] [poly]
Sechsecksprisma (12,18,8) (4,4,6) [img] [edge] [jvx] [poly]
Siebenecksprisma (14,21,9) (4,4,7) [img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Dreieck (6,12,8) (3,3,3,3) [img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Fünfeck (10,20,12) (3,3,3,5) [img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Sechseck (12,24,14) (3,3,3,6) [img] [edge] [jvx] [poly]
Antriprisma über dem Siebeneck (14,28,16) (3,3,3,7) [img] [edge] [jvx] [poly]

Die Archimedischen Körper

Name f-Vector Typ Dateien
Abgestumpftes Tetraeder (12,18,8) (3,6,6) [img] [edge] [jvx]
Abgestumpfter Würfel (24,36,14) (3,8,8) [img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Oktaeder (24,36,14) (3,6,6) [img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Dodekaeder (60,90,32) (3,10,10) [img] [edge] [jvx]
Abgestumpftes Ikosaeder (Fußball) (60,90,32) (5,6,6) [img] [edge] [jvx]
Großes Rhombenkuboktaeder (48,72,26) (4,6,8) [img] [edge] [jvx]
Großes Rhombenikosidodekaeder (120,180,62) (4,6,10) [img] [edge] [jvx]
Kuboktaeder (12,24,14) (3,4,3,4) [img] [edge] [jvx]
Icosidodekaeder (30,60,32) (3,5,3,5) [img] [edge] [jvx]
Kleines Rhombenkuboktaeder (24,48,36) (3,4,4,4) [img] [edge] [jvx]
Kleines Rhombenikosidodekaeder (30,60,32) (3,4,5,4) [img] [edge] [jvx]
Abgeschrägter Würfel (24,60,38) (3,3,3,3,4) [img] [edge] [jvx]
Abgeschrägtes Dodekaeder (50,150,92) (3,3,3,3,5) [img] [edge] [jvx]